|a\rangle =p_{1}|1\rangle +p_{2}|2\rangle +...+p_{N}|N\rangle =\sum _{m=1}^{N}p_{m}|m\rangle

decadimensional

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

\sum _{m=1}^{N}p_{m}=1

decadimensional

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

{\bar {G}}=\sum _{m=1}^{N}p_{m}\langle m|{\hat {G}}|m\rangle =\sum _{m=1}^{N}p_{m}\langle m|{\hat {G}}{\hat {1}}|m\rangle =\sum _{m=1}^{N}\sum _{g}p_{m}\langle m|{\hat {G}}|g\rangle \langle g|m\rangle

decadimensional

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

{\bar {G}}=\sum _{m=1}^{N}\sum _{g}p_{m}|\langle g|m\rangle |^{2}g

decadimensional

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

\rho _{ij}=\langle i|{\hat {\rho }}|j\rangle =\sum _{m=0}^{N}p_{m}\langle i|m\rangle \langle m|j\rangle

decadimensional

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

\rho \equiv \sum _{m=0}^{N}p_{m}|m\rangle \langle m|

decadimensional

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

{\bar {G}}=Tr[{\hat {\rho }}{\hat {G}}]

decadimensional

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

{\hat {G}}=\sum _{i}\sum _{j}\langle j|{\hat {\rho }}|i\rangle \langle i|{\hat {G}}|j\rangle =\sum _{j}\langle j|\underbrace {\sum _{i}|i\rangle \langle i|} _{\hat {1}}{\hat {G}}|j\rangle =\sum _{j}\langle j|{\hat {\rho }}{\hat {G}}|j\rangle =Tr[{\hat {\rho }}{\hat {g}}]

decadimensional

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

S\equiv -k_{B}Tr[{\hat {\rho }}ln{\hat {\rho }}]

decadimensional

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

{\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {\rho }}=\sum _{i=0}^{N}{\frac {\partial }{\partial t}}p_{i}|i\rangle \langle i|=\sum _{i=0}^{N}p_{i}\left[\left({\frac {\partial }{\partial t}}|i\rangle \right)\langle i|+|i\rangle \left({\frac {\partial }{\partial t}}\langle i|\right)\right]

decadimensional

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

\sum _{n=0}^{N}\delta [\rho _{nn}ln\rho _{nn}+\rho _{nn}+\rho _{nn}\beta E_{n}+\gamma \rho _{nn}]=0\rightarrow ln\rho _{mm}+1+\beta E_{n}+\gamma =0

decadimensional

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

\delta S=0\rightarrow \sum _{n=0}^{N}\delta [\rho _{mm}ln\rho _{mm}]

decadimensional

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

{\bar {H}}=Tr[\rho {\hat {H}}]\equiv U,

decadimensional

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

\sum _{n=0}^{N}\delta [\rho _{nn}ln\rho _{nn}+\rho _{nn}+\rho _{nn}\beta E_{n}+\gamma \rho _{nn}]=0\rightarrow ln\rho _{mm}+1+\beta E_{n}+\gamma =0

decadimensional

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

Sendo assim,

\rho _{nn}=Ce^{-\beta E_{n}}

decadimensional

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

\rho _{nn}={\frac {e^{-\beta E_{n}}}{\sum _{i=1}^{N}e^{-\beta E_{i}}}}

decadimensional

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

Z=\sum _{i=1}^{N}e^{-\beta E_{i}}=Tr[e^{-\beta {\hat {H}}}]

decadimensional

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

{\hat {\rho }}={\frac {e^{\beta {\hat {H}}}}{Z}}

decadimensional

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

{\bar {A}}={\frac {Tr(e^{-\beta {\hat {H}}}{\hat {A}})}{Z}}

decadimensional

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

{\bar {E}}=U={\frac {1}{Z}}Tr[e^{-\beta {\hat {H}}}{\hat {H}}]=-{\frac {\partial }{\partial \beta }}lnZ

decadimensional

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

\beta ={\frac {1}{k_{B}T}}

decadimensional

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

Estados Mistos e Puros

Quando uma medida é operada em um sistema quântico, ela só possui sentido se for utilizado o conceito de média de ensemble, ou seja, sistemas a priori identicamente preparados. Após a realização da medida obtêm-se uma caracterização estatística dos constituintes do estado final total, composto por todos os subsistemas onde a medição fora realizada. Por exemplo, após a realização de um experimento Stern-Gerlach, sabemos que o estado físico do feixe de átomos de prata após a interação com o campo magnético externo possui uma população de 50% dos seus átomos colapsados em um estado de spin para cima e a parcela restante, também composta por 50%, possui spin para baixo. Entretanto, ao sair do forno, ou em outras palavras, antes da medição, não podemos caracterizar os estados físicos dos átomos que constitui o feixe; o spin individual de cada átomo pode estar apontando para qualquer direção, utilizando termos gerais, o estado físico é randômico.

Para o caso dos sistemas físicos onde não ocorreu uma medição, sabemos que eles são compostos por um número finito de constituintes, de forma que podemos atribuir um peso a sua população relativa de um dado estado particular, ou seja,

|a\rangle =p_{1}|1\rangle +p_{2}|2\rangle +...+p_{N}|N\rangle =\sum _{m=1}^{N}p_{m}|m\rangle

Nesta equação,

|a\rangle

é o ket que representa o sistema físico antes de uma medida, os coeficientes

p_{m}

configuram os pesos dados pela população fracionária que possui em comum a representação do ket

|n\rangle

e N é o número de indivíduos no ensemble, ou o número de sistemas identicamente preparados. Nesse caso, deve-se tomar cuidado para não confundir o número de indivíduos que compõem o sistema com a dimensão do espaço gerado pelos auto vetores de um dado observável, N geralmente supera com folga a dimensão do auto-espaço de um dado operador. Como estamos tratando de uma população fracionária, obviamente, a soma dos pesos deve ser a unidade. Somos impostos a condição

\sum _{m=1}^{N}p_{m}=1

Além disso, não se tem nenhuma informação geométrica dos kets mediados pelos

p_{n}'s.

Eles podem muito bem ser ortogonais entre si, como não, podem ser auto vetores de um operador em comum como também o podem não ser e nem sabemos se os operadores que os representam são compatíveis ou não. Sendo assim, podemos definir a natureza estatística deste conjunto; antes de realizarmos a medida em um sistema composto pela população de estados físicos, considerando que exista mais de um

p_n

diferente de zero, dizemos que

|a\rangle

configura um ensemble misto. Agora, após a realização de uma medida, podemos analisar em sua totalidade a parte da população fracionária caracterizada por um certo estado físico em comum, ou seja, a coletânea de sistemas físicos tais quais são representadas por um único ket. Para este último caso, damos o nome de ensemble puro. Ou seja, um ensemble misto é composto por uma coleção de ensembles puros.

Construção do Operador Densidade[editar | editar código-fonte]

Considerando a medida de algum observável, essa o qual só será possibilitada a partir de uma média sobre ensembles, como por exemplo o observável

{\hat {G}}

, que na construção formal da mecânica quântica é um operador, obtemos para sua média

{\bar {G}},

{\bar {G}}=\sum _{m=1}^{N}p_{m}\langle m|{\hat {G}}|m\rangle =\sum _{m=1}^{N}p_{m}\langle m|{\hat {G}}{\hat {1}}|m\rangle =\sum _{m=1}^{N}\sum _{g}p_{m}\langle m|{\hat {G}}|g\rangle \langle g|m\rangle

Valendo a equação de autovalores

{\hat {G}}|g\rangle =g|g\rangle

, obtêm-se,

{\bar {G}}=\sum _{m=1}^{N}\sum _{g}p_{m}|\langle g|m\rangle |^{2}g

A partir deste resultado, deve-se alertar a construção de duas estatísticas independentes na obtenção de uma única medida, os pesos populacionais de cada estado físico, compõem uma abordagem estatística que acaba mediando a média de ensemble das previsões quânticas, que também constituem um escopo estatístico em si.

O formalismo quântico permite quantas mudanças de base forem necessárias, de forma que podemos escrever,

{\bar {G}}=\sum _{m=1}^{N}p_{m}\langle m|{\hat {1}}{\hat {G}}{\hat {1}}|m\rangle =\sum _{m=1}^{N}p_{m}\sum _{i}\sum _{j}\langle m|i\rangle \langle i|{\hat {G}}|j\rangle \langle j|m\rangle =\sum _{i}\sum _{j}\left(\sum _{m=1}^{N}p_{m}\langle j|m\rangle \langle m|i\rangle \right)\langle i|{\hat {G}}|j\rangle

O termo destacado entre parenteses é definido como elemento de matriz de um certo operador hermitiano, denominado matriz densidade ou ainda, operador densidade

{\hat {\rho }},

\rho _{ij}=\langle i|{\hat {\rho }}|j\rangle =\sum _{m=0}^{N}p_{m}\langle i|m\rangle \langle m|j\rangle

Sendo assim, a forma geral do operador é dada por,

\rho \equiv \sum _{m=0}^{N}p_{m}|m\rangle \langle m|

Considerando esta construção, a expressão para

{\hat {G}}

toma uma forma muito mais compacta,

{\hat {G}}=\sum _{i}\sum _{j}\langle j|{\hat {\rho }}|i\rangle \langle i|{\hat {G}}|j\rangle =\sum _{j}\langle j|\underbrace {\sum _{i}|i\rangle \langle i|} _{\hat {1}}{\hat {G}}|j\rangle =\sum _{j}\langle j|{\hat {\rho }}{\hat {G}}|j\rangle =Tr[{\hat {\rho }}{\hat {g}}]

Onde a operação

Tr[{\hat {\rho }}{\hat {g}}]

corresponde ao traço do operador resultante do cálculo de

{\hat {\rho }}{\hat {G}}

, ficando assim explicita o poder generalizado desta construção: o traço independe da representação.

Resumidamente, encontramos que a média sobre ensemble de um observável

{\hat {G}}

é dada por,

{\bar {G}}=Tr[{\hat {\rho }}{\hat {G}}]

Agora, analisando o traço do operador identidade separadamente, temos que,

Tr[{\hat {\rho }}]=\sum _{j}\sum _{m=0}^{N}p_{m}\langle j|m\rangle \langle m|j\rangle =\sum _{m=0}^{N}p_{m}\langle m|{\hat {\rho }}\underbrace {\left(\sum _{j}|j\rangle \langle j|\right)} _{\hat {1}}|m\rangle =\sum _{m=0}^{N}p_{m}\underbrace {\langle m|m\rangle } _{1}=1

Agora, para um ensemble puro, onde a população relativa torna-se total, com

p_{1}=1,

teremos a matriz densidade

{\hat {\rho }}_{P},

{\hat {\rho }}_{P}=|m\rangle \langle m|

Daí, tem-se que,

{\hat {\rho }}_{P}{\hat {\rho }}_{P}={\hat {\rho }}_{P}^{2}=|m\rangle \underbrace {\langle m|m\rangle } _{1}\langle m|=|m\rangle \langle m|={\hat {\rho }}_{P}

Ou seja,

{\hat {\rho }}_{P}

é um projetor,

{\hat {\rho }}_{P}^{2}={\hat {\rho }}_{P}\rightarrow {\hat {\rho }}_{P}({\hat {\rho }}_{P}-{\hat {1}})=0

Então, somente para um estado puro,

Tr[{\hat {\rho }}_{P}^{2}]=1

Sendo assim, os autovalores associados ao operador densidade de ensembles puros deve sempre ser zero ou um, de forma que quando diagonalizamos a matriz densidade esperamos encontrar um objeto matemático na forma de,

{\hat {\rho }}_{P}\doteq {\begin{pmatrix}0&...&0&0&0&...&0\\\vdots &...&0&0&0&...&0\\0&...&0&1&0&...&0\\\vdots &...&0&0&0&...&0\\0&...&0&0&0&...&0\end{pmatrix}}

Em contrapartida, um ensemble totalmente misto deve possuir a matriz densidade

{\hat {\rho }}_{M}

, com a estrutura,

{\hat {\rho }}_{M}\doteq {\frac {1}{N}}{\begin{pmatrix}1&...&0&0&0&...&0\\\vdots &...&1&0&0&...&0\\0&...&0&1&0&...&0\\\vdots &...&0&0&1&...&0\\0&...&0&0&0&...&1\end{pmatrix}}={\frac {1}{N}}{\hat {1}}_{N}

É obvia a confrontação frente duas matrizes diagonais N-dimensionais, sujeitas a mesma condição de normalização, que representam objetos físicos diametralmente opostos. É conveniente então a definição de uma grandeza que distingua as qualidades físicas intrínsecas a cada objeto. Com este espírito, defini-se a Entropia de Von Neumann,

S\equiv -k_{B}Tr[{\hat {\rho }}ln{\hat {\rho }}]

Como todos os elementos não diagonais de ambas as matrizes são nulos, pode-se escrever a forma diagonal da entropia,

S=-k_{B}\sum _{n=0}^{N}\rho _{nn}ln\rho _{nn}

Para um ensemble completamente misto, teremos a entropia

S_{M}

, dada por,

S_{M}=k_{B}\sum _{n=0}^{N}\rho _{nn}ln{\frac {1}{\rho _{nn}}}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{N}}lnN=lnN

Em contrapartida, o operador densidade relacionado a um estado puro, resulta em uma entropia

S_{P}

nula,

S_{P}=ln(1)=0

É valida a observação de que nesta definição entropica, recupera-se a interpretação da medida de desordem de um sistema, o seu caos. Ludwig Boltzmann relacionou a saturação energética natural dos sistemas termodinâmicos, a entropia S, com o número de microestados possíveis

\Omega

que podem ser acessados ao mesmo, apresentando a equação que hoje consta em sua lápide,

S=k_{B}ln\Omega

. Sendo assim, para pequenos valores de

\Omega

, tem-se uma baixa entropia, além de que para um único estado possível,

\Omega =1

, ocasiona entropia nula, correspondentemente idêntico ao caso puramente quântico explicitado na entropia de Von Neumann para um estado puro.

Progressão temporal de um Ensemble estatístico[editar | editar código-fonte]

A fim de avaliar a evolução temporal do operador densidade, é possível tomar sua derivada temporal, onde aprioristicamente não é considerada uma dependência exclusivamente temporal. Além disso, as populações mantém-se estáticas, sendo assim,

{\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {\rho }}=\sum _{i=0}^{N}{\frac {\partial }{\partial t}}p_{i}|i\rangle \langle i|=\sum _{i=0}^{N}p_{i}\left[\left({\frac {\partial }{\partial t}}|i\rangle \right)\langle i|+|i\rangle \left({\frac {\partial }{\partial t}}\langle i|\right)\right]

Neste regime é valida a substituição heurística,

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\rightarrow {\hat {H}}

Sendo assim, a derivada temporal assume a forma,

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {\rho }}=\sum _{i=0}^{N}p_{i}\left({\hat {H}}|i\rangle \langle i|-|i\rangle \langle i|{\hat {H}}\right)={\hat {H}}\sum _{i=0}^{N}p_{i}|i\rangle \langle i|-\sum _{i=0}^{N}p_{i}|i\rangle \langle i|{\hat {H}}

Ou seja, obtém-se,

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {\rho }}=[{\hat {H}},{\hat {\rho }}]

Esta equação pode ser interpretada como o análogo quântico do teorema de Liouville.

Representação dos Ensembles Micro-Canônico e Canônico quânticos[editar | editar código-fonte]

A conexão entre a mecânica estatística e a mecânica quântica é motivada a partir do segundo postulado da termodinâmica,

Postulado II: Pode-se supor a existência de uma função, chamada entropia, que depende apenas das variáveis extensivas do problema, cujo máximo fornece a configuração de equilíbrio do sistema termodinâmico sob análise.

Levanto em frente as consequências do segundo postulado, pode-se extrair informações a respeito dos ensembles estatísticos a partir da extremização da entropia de Von Neumann, logo,

\delta S=0\rightarrow \sum _{n=0}^{N}\delta [\rho _{mm}ln\rho _{mm}]

É obrigada a restrição sobre este máximo de que a conservação da probabilidade seja confirmada, de forma que inclui-se a restrição,

Tr[{\hat {\rho }}]=\sum _{n=0}^{N}\rho _{nn}=1\rightarrow \sum _{n=0}^{N}\delta \rho _{nn}=0

Sendo assim, a junção entre a restrição imposta e a extremização da entropia é dada via multiplicadores de Lagrange,

\delta S+\gamma \delta Tr[\rho ]=\sum _{n=0}^{N}\left(ln\rho _{nn}+1+\gamma \right)=0

Se considerarmos uma variação arbitrária, ela só será possível se o objeto sobre soma for nulo de forma que encontramos,

\rho _{nn}=e^{-\gamma -1}\equiv k

Podemos determinar a constante

k

a partir de uma simples normalização, obtendo

k=1/N

, recupera-se então a expressão para

{\hat {\rho }}_{M}.

Esse resultado confirma o sucesso da construção; em seu estado mais fundamental,

{\hat {\rho }}_{M}

remonta o ensemble micro-canônico; nesse caso, se considerarmos que não existe degenerescência, cada estado é caracterizado por um ket específico configurando um microestado. Como o peso estatístico de cada microestado é o mesmo,

1/N

, encontra-se naturalmente a hipótese de microestados igualmente prováveis a priori, uma das hipóteses pioneiras no desenvolvimento de uma mecânica estatística consistente.

Embora tenha sido estabelecida a construção coerente da mecânica estatística quântica, um caso mais rico em aplicações pode ser obtido se somarmos uma restrição na extremização da entropia de Von Neumann,

{\bar {H}}=Tr[\rho {\hat {H}}]\equiv U,

ou seja, a média de energia possui um valor estabelecido. Sob mais esta condição, que remonta um sistema físico em equilíbrio térmico com uma fonte, teremos para uma maximação da entropia,

\sum _{n=0}^{N}\delta [\rho _{nn}ln\rho _{nn}+\rho _{nn}+\rho _{nn}\beta E_{n}+\gamma \rho _{nn}]=0\rightarrow ln\rho _{mm}+1+\beta E_{n}+\gamma =0

Sendo assim,

\rho _{nn}=Ce^{-\beta E_{n}}

Pode-se determinar a constante a partir de uma normalização direta, da qual obtém-se

\rho _{nn}={\frac {e^{-\beta E_{n}}}{\sum _{i=1}^{N}e^{-\beta E_{i}}}}

A expressão no denominador remonta um conceito muito explorado na mecânica estatística clássica, a função partição

Z,

Z=\sum _{i=1}^{N}e^{-\beta E_{i}}=Tr[e^{-\beta {\hat {H}}}]

Sendo assim, a matriz densidade no ensemble canônico, é expressa por,

{\hat {\rho }}={\frac {e^{\beta {\hat {H}}}}{Z}}

Uma vez determinada a matriz densidade de um certo sistema físico, é possível analisar a magnitude dos seus valores médios. Se considerarmos o observável

{\hat {A}}

de interesse, teremos para o seu valor médio

{\bar {A}},

{\bar {A}}={\frac {Tr(e^{-\beta {\hat {H}}}{\hat {A}})}{Z}}

Um caso específico a ser tratado nos problemas de mecânica estatística é a determinação da energia média de um sistema

{\bar {E}},

também chamada de energia interna

U.

Teremos,

{\bar {E}}=U={\frac {1}{Z}}Tr[e^{-\beta {\hat {H}}}{\hat {H}}]=-{\frac {\partial }{\partial \beta }}lnZ

Equivalentemente na mecânica estatística clássica, onde,

\beta ={\frac {1}{k_{B}T}}

Estados de Graceli de matéria, energias, momentuns, inércias, e entropias.

Estados térmico.
Estado quântico.
De dilatação.
De entropia.
De potencia de entropia e relação com dilatação.
De magnetismo [correntes, momentum e condutividades]..
De eletricidade [correntes, momentum e condutividades].
De condutividade.
De mometum e fluxos variados.
De potencial inercial da matéria e energia.
De transformação.
De comportamento de cargas e interações com elétrons.
De emaranhamentos e transemaranhamentos.
De paridades e transparidades.
De radiação.
Radioatividade.
De radioisótopos.
De relação entre radioatividade, radiação, eletromagnetismo e termoentropia.
De capacidade e potencialidade de resistir a pressão, a capacidade de resistir a pressão e transformar em entropia e momentum.

De resistir à temperaturas.
E transformar em dilatação, interações entre partículas, energias e campos.
Estado dos padrões de variações e efeitos variacionais.
Estado de incerteza dos fenômenos e entre as suas interações.

E outros estados de matéria, energia, momentum, tipos de inércia [como de inércia potencial de energias magnética, elétrica, forte e fraca, dinâmica, geométrica [côncava, convexa e plana] em sistema.

E que todos estes tipos de estados tendem a ter ações de uns sobre os outros, formando um aglomerado de fenômenos de efeitos na produção de novas causas. E de efeitos variacionais de uns sobre os outros, ou seja, um sistema integrado.

Sobre padrões de entropia.

Mesmo havendo uma desordem, esta desordem segue alguns parâmetros futuros e que dependem de condições dos estados de Graceli, ou seja, a desordem segue alguns padrões e ordens conforme avança e passa por fases e agentes fenomênicos, estruturais e geométricos.

Porem, a reversibilidade se torna impossível, aumenta a instabilidade e as incertezas de posição, intensidade, variações, efeitos e outros fenômenos conforme as próprias intensidades de dilatações, e agentes e estados envolvidos.

Levando em consideração que mesmo havendo ordem não é possível a reversibilidade do estado e condições em que se encontravam a energia, matéria, momentum, inércias, dimensões, e outros agentes.

A temperatura pode voltar ao seu lugar e ao seu ponto inicial, mas não as estruturas das partículas, as intensidades infinitésimas de padrões de energias, e nem o grau de oscilações que a energias, as interações, as transformações que passam estas partículas e suas energias, estruturas e interações, e as interações e intensidades de grau de variação de cada agente.

Porem, a desordem é temporal, ou seja, com o passar do tempo outras ordens e padrões se afirmarão.

Sendo que também a entropia varia conforme intensidade de instabilidade por tempo. E tempo por intensidade de instabilidade.

Assim, segue efeitos variacionais e de incertezas por instabilidade de energia adicionada, e de tempo.

Ou seja, uma grande instabilidade e desordem em pouco tempo vai levar a uma grande e instável por mais tempo uma entropia.

Do que um grande tempo com pequena intensidade de instabilidade e energia adicionada num sistema ou numa variação térmica.

Ou mesmo numa variação eletromagnética, ou mesmo na condutividade.

Princípio tempo instabilidade de Graceli.

Assim, a desordem acaba por encontrar uma ordem se não acontecer nenhuma instabilidade novamente. Pois, as partículas e energias tendem a se reorganizar novamente conforme o passar do tempo, e esta reorganização segue um efeito progressivo em relação à desordem e tempo. Como os vistos acima.

Ou seja, aquela organização anterior não vai mais acontecer, pois, segue o princípio da irreversibilidade, mas outras organizações se formarão conforme avança o tempo de estabilidade.

as dimensões categorias podem ser divididas em cinco formas diversificadas.

tipos, níveis, potenciais, tempo de ação, especificidades de transições de energias, de fenômenos, de estados de energias, físicos [estruturais], de fenômenos, estados quântico, e outros.

paradox of the system of ten dimensions and categories of Graceli.

a four-dimensional system can not define all the energies, changes of structures, states and phenomena within a structure, that is why there are ten or more dimensions, I have developed and I work with ten, but nature certainly goes beyond ten, with this we move to a decadimensional and categorial universe.

that is, categories ground the variables of phenomena and their interactions and transformations.

and with this we do not have a relationship with mass, but with structure, therefore, a structure carries with it much more than mass, since also mass is related to forces, inertia, resistances and energies.

but structures are related to transitions of physical states, quantum, energies, phenomena, and others.

as well as transitions of energies, phenomena, categories and dimensions.

paradoxo do sistema de dez dimensões e categorias de Graceli.

um sistema de quatro dimensões não tem como definir todas as energias, mudanças de estruturas, estados e fenômenos dentro de uma estrutura, por isto se tem dez ou mais dimensões, desenvolvi e trabalho com dez, mas a natureza com certeza vai alem das dez, com isto caminhamos para um universo decadimensional e categorial.

ou seja, as categorias fundamentam as variáveis dos fenõmenos e suas interações e transformações.

e com isto não se tem uma relação com massa, mas com estrutura, pois, uma estrutura carrega consigo muito mais do que massa, uma vez também que massa está relacionado com forças, inércia, resistências e energias.

mas estruturas está relacionado com transições de estados físicos, quântico, de energias, de fenômenos, e outros.

como também transições de energias, fenômenos, categorias e dimensões.

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

postulado categorial e decadimensional Graceli.

TUDO QUE ESTÁ RELACIONADO COM ENERGIA, ESTRUTURAS, FENÔMENOS E DIMENSÕES ESTÁ INSERIDO NO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.

todo sistema decadimensional e categorial é um sistema transcendente e indeterminado.

matriz categorial Graceli.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

1] Cosmic space.
2] Cosmic and quantum time.
3] Structures.
4] Energy.
5] Phenomena.
6] Potential.
7] Phase transitions of physical [amorphous and crystalline] states and states of energies and phenomena of Graceli.
8] Types and levels of magnetism [in paramagnetic, diamagnetic, ferromagnetic] and electricity, radioactivity [fissions and fusions], and light [laser, maser, incandescence, fluorescence, phosphorescence, and others.
9] thermal specificity, other energies, and structure phenomena, and phase transitions.
10] action time specificity in physical and quantum processes.

Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

8]Tipos e níveis de magnetismo [em paramagnéticos, diamagnético, ferromagnéticos] e eletricidade, radioatividade [fissões e fusões], e luz [laser, maser, incandescências, fluorescências, fosforescências, e outros.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

Matriz categorial de Graceli.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

Tipos, níveis, potenciais, tempo de ação, temperatura, eletricidade, magnetismo, radioatividade, luminescências, dinâmicas, estruturas, fenômenos, transições de fenômenos e estados físicos, e estados de energias, dimensões fenomênicas de Graceli.

[estruturas: isótopos, partículas, amorfos e cristalinos, paramagnéticos, dia, ferromagnéticos, e estados [físicos, quântico, de energias, de fenômenos, de transições, de interações, transformações e decaimentos, emissões e absorções, eletrostático, condutividade e fluidez]].

trans-intermecânica de supercondutividade no sistema categorial de Graceli.

EPG = d [hc] [T / IEEpei [pit] = [pTEMRLD] and [fao] [itd] [iicee] tetdvd [pe] cee [caG].]

p it = potentials of interactions and transformations.
Temperature divided by isotopes and physical states and potential states of energies and isotopes = emissions, random wave fluxes, ion interactions, charges and energies structures, tunnels and entanglements, transformations and decays, vibrations and dilations, electrostatic potential, conductivities, entropies and enthalpies. categories and agents of Graceli.

h e = quantum index and speed of light.

[pTEMRlD] = THERMAL, ELECTRICAL, MAGNETIC, RADIOACTIVE, Luminescence, DYNAMIC POTENTIAL] ..

EPG = GRACELI POTENTIAL STATUS.

[pTFE] = POTENCIAL DE TRANSIÇÕES DE FASES DE ESTADOS FÍSICOS E DE ENERGIAS E FANÔMENOS [TRANSIÇÕES DE GRACELI]

, [pTEMRLD] [hc] [pI] [PF] [pIT][pTFE] [CG].

terça-feira, 19 de fevereiro de 2019

{\hat {H}}=-{\frac {\nabla _{1}^{2}}{2}}-{\frac {\nabla _{2}^{2}}{2}}+{\frac {1}{u}}

E = h \nu = \hbar \omega

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

decadimensional

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

\left({\frac {u^{2}}{4R^{2}}}-1\right){\frac {d^{2}S(u)}{du^{2}}}+\left({\frac {3u}{4R^{2}}}-{\frac {1}{u}}\right){\frac {dS(u)}{du}}+{\frac {1}{u}}S(u)=ES(u)

E = h \nu = \hbar \omega

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

decadimensional

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

S_{n,m}(u)=\sum _{k=0}^{n}s_{k}\,u^{k}

E = h \nu = \hbar \omega

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

decadimensional

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

R_{n,m}^{2}E_{n,m}={\frac {n}{2}}\left({\frac {n}{2}}+1\right)

E = h \nu = \hbar \omega

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

decadimensional

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

O modelo spherium consiste de dois elétrons presos na superfície de uma esfera de raio

R

. Ele tem sido usado por Berry e colaboradores ^[1] para entender tantos sistemas fracamente e fortemente correlacionados e sugeri uma versão "alternativa" para a regra de Hund. Seidl estuda esse sistema no contexto da teoria do funcional da densidade(DFT) para desenvolver a nova funcionais correlaçõe dentro da conexão adiabática.^[2]

Definição e solução

O Hamiltoniano eletrônico em unidades atômicas, é

{\hat {H}}=-{\frac {\nabla _{1}^{2}}{2}}-{\frac {\nabla _{2}^{2}}{2}}+{\frac {1}{u}}

onde

u

é a distância intereletrônica. Para os estados singletos, pode ser mostrado^[3] que a função de onda satisfaz a equação de Schrödinger

\left({\frac {u^{2}}{4R^{2}}}-1\right){\frac {d^{2}S(u)}{du^{2}}}+\left({\frac {3u}{4R^{2}}}-{\frac {1}{u}}\right){\frac {dS(u)}{du}}+{\frac {1}{u}}S(u)=ES(u)

Introduzindo a variável adimensional

x=u/2R

, isso se torna uma função de Heun com pontos singulares em

x=-1,0,+1

. Com base nas conhecidas soluções de Heun, buscamos funções de onda da forma

S(u)=\sum _{k=0}^{\infty }s_{k}\,u^{k}

e substituição na equação anterior produz arelação de recorrência

s_{k+2}={\frac {s_{k+1}+\left[k(k+2){\frac {1}{4R^{2}}}-E\right]s_{k}}{(k+2)^{2}}}

com os valores iniciais

s_{0}=s_{1}=1

. Assim, a condição de cúspide Kato é

{\frac {S'(0)}{S(0)}}=1

A função de onda reduz para o polinomial

S_{n,m}(u)=\sum _{k=0}^{n}s_{k}\,u^{k}

(onde

m

o número de raízes entre

0

2R

) se, e somente se,

s_{n+1}=s_{n+2}=0

. Assim, a energia

E_{n,m}

é uma raiz da equação polinomial

s_{n+1}=0

(onde

\deg s_{n+1}=\lfloor (n+1)/2\rfloor

) e o raio correspondente

R_{n,m}

é encontrado a partir da equação anterior, o que gera

R_{n,m}^{2}E_{n,m}={\frac {n}{2}}\left({\frac {n}{2}}+1\right)

S_{n,m}(u)

é a exata função de onda do

m

-esimo estado excitado da simetria singleto S para o raio

R_{n,m}

Sabemos que a partir do trabalho de Loos e Gill que a energia HF do menor estado singleto S

E_{\rm {HF}}=1/R

. Segue-se que a exata correlação energia para

R={\sqrt {3}}/2

E_{\rm {corr}}=1-2/{\sqrt {3}}\approx -0.1547

que é muito maior do que a limitação da correlação das energias do íons como hélio (

-0.0467

) ou os átomos de Hooke (

-0.0497

). Isso confirma a visão de que a correlação de elétron na superfície de uma esfera é qualitativamente diferente do que em três dimensões de espaço físico.

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

matriz categorial Graceli.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

T l T l E l Fl dfG l

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Matriz categorial de Graceli.

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Ta l Rl

sábado, 2 de março de 2019

E=h\nu

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

\nu ={\frac {c}{\lambda }}=c{\tilde {\nu }}={\frac {\omega }{2\pi }}={\frac {c}{2\pi y}}={\frac {ck}{2\pi }},

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

E=h\nu ={\frac {hc}{\lambda }}=hc{\tilde {\nu }},

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

E=\hbar \omega ={\frac {\hbar c}{y}}=\hbar ck.

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

p=h{\tilde {\nu }}

p=\hbar k.

x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} ,

x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

\Delta E=h\nu .

x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

A relação de Planck–Einstein^[1]^[2]^[3] é também conhecida como relação de Einstein,^[1]^[4]^[5] ou como relação de frequência-energia de Planck,^[6] relação de Planck,^[7] e equação de Planck.^[8] A expressão fórmula de Planck^[9] também pertence a esta lista, mas muitas vezes se refere à lei de Planck^[10]^[11] Esses vários epônimos são usados de maneira esporádica. Referem-se a uma fórmula integral da mecânica quântica, que estabelece que a energia de um fóton

E

é proporcional à sua frequência,

ν

E=h\nu

A constante de proporcionalidade,

h

, é conhecida como constante de Planck. Existem várias formas equivalentes da relação.

A relação explica a natureza quantizada da luz, e desempenha um papel decisivo no entendimento de fenômenos como o efeito fotoelétrico, e a lei de Planck da radiação de corpo negro.

Mais detalhes em: Postulado de Planck

Formas espectrais

A luz pode ser caracterizada usando várias quantidades espectrais, como a frequência

ν

, comprimento de onda

λ

, número de onda

\scriptstyle {\tilde {\nu }}

, e seus equivalentes angulares (frequência angular

ω

, comprimento de onda angular

y

, e número de onda angular

k

). Essas grandezas se relacionam pela equação

\nu ={\frac {c}{\lambda }}=c{\tilde {\nu }}={\frac {\omega }{2\pi }}={\frac {c}{2\pi y}}={\frac {ck}{2\pi }},

então a relação de Planck pode ter as seguintes formas "padrão"

E=h\nu ={\frac {hc}{\lambda }}=hc{\tilde {\nu }},

assim como as seguintes formas 'angulares',

E=\hbar \omega ={\frac {\hbar c}{y}}=\hbar ck.

As formas padrão fazem uso da constante de Planck

h

. As formas angulares fazem uso da constante reduzida de Planck

ħ = h 2π

. Aqui,

c

é a velocidade da luz.

Relação de de Broglie[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Onda de matéria#As relações de De Broglie

A relação de de Broglie,^[5]^[12]^[13] também conhecida como relação momento–comprimento de onda de de Broglie,^[6] generaliza a relação de Planck para ondas de matéria. Louis de Broglie argumentou que se as partículas possuem natureza de onda, a relação

E = hν

também se aplicaria para elas, e postulou que as partículas teriam um comprimento de onda igual a

λ = h p

. Combinando o postulado de de Broglie com a relação de Planck–Einstein resulta em

p=h{\tilde {\nu }}

p=\hbar k.

A relação de de Broglie também é algumas vezes encontrada na forma vetorial

\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} ,

onde

p

é o vetor momento, e

k

é o vetor de onda angular.

Condição de frequência de Bohr[editar | editar código-fonte]

A condição de frequência de Bohr estabelece que a frequência de um fóton absorvido ou emitido durante uma transição eletrônica relaciona-se à diferença de energia (

Δ E

) entre os dois níveis de energia envolvidos na transição:^[14]

\Delta E=h\nu .

Isso é uma consequência direta da relação de Planck–Einstein.

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

matriz categorial Graceli.

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Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

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terça-feira, 26 de fevereiro de 2019

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{x}\phi (x))^{2}-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi (x)^{2}+\phi (x)\int {{\frac {\phi (y)}{(x-y)^{2}}}\,d^{n}y}

decadimensional

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{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}{\mathcal {F}}_{\mu \nu }(1+{\frac {m^{2}}{\partial ^{2}}}){\mathcal {F}}^{\mu \nu }

decadimensional

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Não localidade, em mecânica quântica, se refere à propriedade de estados quânticos entrelaçados na qual dois estados entrelaçados "colapsam" simultaneamente no ato de medição de um dos componentes emaranhados, independente da separação espacial entre os dois estados. Essa "estranha ação a distância" é o conteúdo do Teorema de Belle do paradoxo EPR.

Em teoria de campos, uma Lagrangiana não local é o funcional

{\mathcal {L}}[\phi (x)]

que contém termos que são não locais em campos

\ \phi (x)

, isto é, que não são polinômios ou funções de campos ou suas derivadas calculadas em um ponto do espaço de parâmetros dinâmicos (exemploː espaço-tempo). Exemplos de tais Lagragianas não locais:

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{x}\phi (x))^{2}-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi (x)^{2}+\phi (x)\int {{\frac {\phi (y)}{(x-y)^{2}}}\,d^{n}y}

{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}{\mathcal {F}}_{\mu \nu }(1+{\frac {m^{2}}{\partial ^{2}}}){\mathcal {F}}^{\mu \nu }

Ações obtidas de Lagragianas não locais são chamadas de ações não locais. As ações que aparecem em teorias físicas, como no Modelo Padrão, são ações locais. Ações não locais fazem parte de teorias que tentam ir além do Modelo Padrão, e também aparecem teorias de campo efetivo. Não localização de uma ação local é um aspecto essencial em alguns procedimentos de regularização.

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

matriz categorial Graceli.

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Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

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Matriz categorial de Graceli.

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sábado, 23 de fevereiro de 2019

todas as condições de

Harmônicos esféricos estão relacionados no sistema decadimensional e categorial Graceli, vejamos alguns:

\nabla ^{2}f={1 \over r^{2}}{\partial  \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial  \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0

decadimensional

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{1 \over \sin \theta }{d \over d\theta }\left(\sin \theta {dY(\theta ,\varphi ) \over d\theta }\right)+{1 \over \sin ^{2}\theta }{d^{2}Y(\theta ,\varphi ) \over d\varphi ^{2}}+l(l+1)Y(\theta ,\varphi )=0

x decadimensional x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=N\,e^{im\varphi }\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })

x decadimensional x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=A_{\ell }^{m}P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }

decadimensional

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Representações visuais dos primeiros harmônicos esféricos. Partes em azul e amarelo representam, respectivamente, as regiões nas quais a função é positiva e negativa.

Em matemática, os harmónicos esféricos são funções harmónicas que representam a variação espacial de um conjunto ortogonal de soluções da equação de Laplace, quando a solução é expressa em coordenadas esféricas.

Os harmónicos esféricos são importantes em muitas aplicações teóricas e práticas, particularmente em física atómica (uma vez que a função de onda do electrão contém harmónicos esféricos) e na teoria do potencial, tanto no campo gravitacionalcomo na eletrostática.

Introdução

Harmónicos esféricos de variável real Y_lm, para l =0,...,4 (de cima para baixo) e m = 0,...,4 (da esquerda para a direita). Os harmónicos Y_l-m com m negativo são idênticos, mas com uma rotação de 90º/m em torno do eixo z em relação aos harmónicos positivos.

A equação de Laplace em coordenadas esféricas é dada por:

\nabla ^{2}f={1 \over r^{2}}{\partial  \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial  \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0

(Ver também Nabla e laplaciano em coordenadas esféricas). Se nesta expressão considera-se soluções específicas da forma

f(r,\theta ,\phi )=R(r)Y(\theta ,\varphi )

, a parte angular Y é chamada harmónico esférico e satisfaz a relação

{1 \over \sin \theta }{d \over d\theta }\left(\sin \theta {dY(\theta ,\varphi ) \over d\theta }\right)+{1 \over \sin ^{2}\theta }{d^{2}Y(\theta ,\varphi ) \over d\varphi ^{2}}+l(l+1)Y(\theta ,\varphi )=0

Se, por sua vez, utiliza-se o método de separação de variáveis para esta equação, pode-se ver que a equação acima admite soluções periódicas nas duas coordenadas angulares (l é um inteiro). Logo, a solução periódica do sistema anterior depende de dois inteiros (l, m) e é dada em termos de funções trigonométricas e dos polinômios associados de Legendre:

Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=N\,e^{im\varphi }\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })

Onde:

Y_{\ell }^{m}

é chamada de função harmónica esférica de grau

\ell

e ordem

m

;

P_{\ell }^{m}

é o polinómio associado de Legendre;

N

é uma constante de normalização; e

\theta

\varphi

representam os parâmetros angulares (respectivamente, o ângulo azimutal ou colatitude e o ângulo polar ou longitude).

As coordenadas esféricas utilizadas neste artigo são consistentes com àquelas usadas pelos físicos, mas diferem das utilizadas pelos matemáticos (ver coordenadas esféricas). Em particular, a colatitude

\theta

, ou ângulo polar, assume valores de

0\leq \theta \leq \pi

e a longitude

\varphi

, ou azimute, está na faixa de

0\leq \varphi <2\pi

. Portanto,

\theta

é nulo no Pólo Norte,

\pi /2

no Equador e

\pi

no Pólo Sul.

Quando a equação de Laplace é resolvida em coordenadas esféricas, as condições de periodicidade na fronteira da coordenada

\varphi

e as condições de regularidades nos "Pólos Norte e sul" da esfera condizem com o que foi dito que os números l e m necessários devem ser inteiros que satisfazem

\ell \geq 0

|m|\leq \ell

Normalização[editar | editar código-fonte]

Há várias normalizações utilizadas para as funções harmónicas esféricas. Em física e sismologia essas funções são geralmente definidas como

Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=A_{\ell }^{m}P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }

onde

A_{\ell }^{m}={\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}

Estas funções são ortonormalizadas,

\int _{\varphi =0}^{2\pi }d\varphi \int _{-1}^{1}d(cos\theta )Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ^{*})\,Y_{\ell '}^{m'*}(\theta ,\varphi )\,=\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}

onde δ_aa = 1, δ_ab = 0 se a ≠ b (ver delta de Kronecker). Nas áreas de geodésia e análise espectral utiliza-se

Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{(2\ell +1)}{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }

que possui um termo linear

{1 \over 4\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }\int _{-1}^{1}d(cos\theta )Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ^{*})\,Y_{\ell '}^{m'*}(\theta ,\varphi )\,=\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}

No magnetismo, no entanto, usa-se os harmónicos de Schmidt semi-normalizados,

Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {(2l+1){(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }

que possuem a seguinte normalização:

\int _{\varphi =0}^{2\pi }\int _{-1}^{1}d(cos\theta )Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ^{*})\,Y_{\ell '}^{m'*}(\theta ,\varphi )\,={4\pi  \over (2\ell +1)}\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}

Utilizando a identidade (ver funções associadas de Legendre)

P_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}

pode-se demonstrar que todas as funções harmónicas esféricas normalizadas acima satisfazem

Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi )=(-1)^{m}Y_{\ell }^{-m}(\theta ,\varphi )

onde o símbolo * significa conjugação complexa.

Convenção de fase de Condon-Shortley[editar | editar código-fonte]

Um forte motivo para uma confusão com a definição de harmónicos esféricos é o fator de fase

(-1)^{m}\,

, normalmente identificado como a fase de Condon-Shortley na literatura quântica. Na mecânica quântica, é uma prática usual incluir este fator de fase na definição das funções associadas de Legendre, ou anexá-lo à definição de funções harmónicas esféricas. Não há nenhuma exigência da utilização da fase de Condon-Shortley na definição de funções harmónicas esféricas, mas se ela for incluída, então algumas operações no domínio da mecânica quântica serão mais simples. No magnetismo e na geodésia, ao contrário, nunca incluiu-se o fator de fase Condon-Shortley na definição dos harmónicos esféricos.

Expansão em harmónicos esféricos[editar | editar código-fonte]

Os harmónicos esféricos formam um conjunto completo ortonormal de funções e, portanto, formam um espaço vetorial análogo aos vetores unitários da base. Na esfera unitária, todas as funções de quadrado integrável podem, portanto, ser expandidas como uma combinação linear de:

f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )

Essa expansão é exata sempre que

\ell

estende-se até o infinito. Haverá um erro de truncamento ao limitar a soma sobre

\ell

numa largura de banda finita

L

. Os coeficientes da expansão

f_{\ell }^{m}

podem ser obtidos multiplicando-se a equação pelo conjugado complexo dos harmónicos esféricos, integrando-se sobre um ângulo sólido

\Omega \!\,

e usando-se as relações de ortogonalidade acima. No caso de harmónicos ortonormalizados, obtemos

f_{\ell }^{m}=\int _{\Omega }f(\theta ,\varphi )\,Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi )d\Omega =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta f(\theta ,\varphi )Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi )

Um conjunto alternativo de harmónicos esféricos para funções reais pode ser obtido a partir do conjunto

Y_{\ell m}={\begin{cases}Y_{\ell }^{0}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \quad {\mbox{  si }}m=0\\{1 \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{m}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{-m}\right)={\sqrt {2}}NP_{\ell }^{m}(\theta )\cos m\varphi \qquad \quad \quad {\mbox{si }}m>0\\{1 \over i{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{|m|}-(-1)^{|m|}\,Y_{\ell }^{-|m|}\right)={\sqrt {2}}NP_{\ell }^{|m|}(\theta )\sin |m|\varphi \quad {\mbox{  si }}m<0.\end{cases}}

Estas funções têm as mesmas propriedades que as funções de normalização complexas dadas anteriormente. Nesta forma, uma função real integrável pode ser expressa como uma soma infinita de harmónicos esféricos

f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{lm}\,Y_{lm}(\theta ,\varphi )

Harmónicos esféricos em física[editar | editar código-fonte]

Seguem-se algumas aplicações dos harmónicos esféricos na física, tanto na eletrostática como na mecânica quântica.

Harmónicos esféricos na eletrostática[editar | editar código-fonte]

O átomo de hidrogênio[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Átomo de Hidrogênio

O modelo quântico moderno do átomo de hidrogênio assume o elétron em um estado constante de energia tem sua posição distribuída ao redor do núcleo atômico como uma distribuição de probabilidades, cuja variação angular é dada por um harmónico esférico.

Análise espectral[editar | editar código-fonte]

A potência total de uma função

f

é definida na linguagem de processamento de sinais eletrônicos como sendo a integral do quadrado da função dividida pela área varrida por ela. Usando as propriedades de ortonormalização de funções harmónicas esféricas de potência real unitária, é fácil verificar que a potência total de uma função definida na esfera unitária está relacionada aos seus coeficientes espectrais através de uma generalização do teorema de Parseval:

{\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }f(\Omega )^{2}\,d\Omega =\sum _{l=0}^{\infty }S_{f\!f}(l)

onde

S_{f\!f}(l)=\sum _{m=-l}^{l}f_{lm}^{2}

é definido como o espectro de potência angular. Da mesma forma, pode-se definir a potência cruzada entre duas funções como

{\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }f(\Omega )\,g(\Omega )\,d\Omega =\sum _{l=0}^{\infty }S_{fg}(l)

onde

S_{fg}(l)=\sum _{m=-l}^{l}f_{lm}g_{lm}

é definido como o espectro cruzado neste caso. Se as funções

f

g

possuem valor médio igual a zero (ou seja, com coeficientes espectrais

f_{00}

g_{00}

nulos), então

S_{f\!f}(l)

S_{fg}(l)

representam as contribuições para a variância e covariância da função para

\ell

, respectivamente. É comum que o espectro de potência cruzado seja aproximado por uma lei de potências do tipo

S_{f\!f}(l)=C\,\ell ^{\beta }

Quando

\beta =0

, o espectro é "branco", pois cada nível tem potências iguais. Quando

\beta <0

, o espectro é chamado de "vermelho", porque não há mais energia nos níveis mais baixos com comprimentos de onda mais longos do que nos níveis mais elevados. Finalmente, quando

\beta >0

, o espectro é chamado de "azul".

Teorema da adição[editar | editar código-fonte]

Um resultado matemático de grande interesse e utilidade é chamado teorema da adição para harmónicos esféricos. Se dois vetores r e r' tem coordenadas esféricas

(r,\theta ,\varphi )

(r',\theta ',\varphi ')

, respectivamente, o ângulo

\gamma

entre eles é dado pela expressão

\cos \gamma =\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\varphi -\varphi ')

O teorema da adição expressa um polinômio de Legendre de ordem

l

no ângulo

\gamma

em termos de produtos de dois harmónicos esféricos com coordenadas angulares

(\theta ,\varphi )

(\theta ',\varphi ')

P_{l}(\cos \gamma )={\frac {4\pi }{2l+1}}\sum _{m=-l}^{l}Y_{lm}^{*}(\theta ',\phi ')\,Y_{lm}(\theta ,\varphi )

Esta expressão é válida tanto para harmónicos reais como complexos. Entretanto, deve-se ressaltar que a fórmula apresentada anteriormente é válida apenas para harmónicos esféricos ortonormalizados. Harmónicos de potência unitária são necessários para eliminar o fator

4\pi

da expressão anterior.

Visualizando os harmónicos esféricos[editar | editar código-fonte]

Representação esquemática de Y_lm sobre a esfera unitária. Y_lm é igual a 0 ao longo de m círculos que passam pelos polos e ao longo de l-m círculos de mesma latitude. A função muda de sinal cada vez que cruza uma dessas linhas.

A função harmónica esférica real Y₃₂ mostrada ao longo de quatro cortes.

Os harmónicos esféricos são facilmente visualizados através da contagem do número de cruzamentos que ambos estão na direção das coordenadas

\theta

\varphi

. Para obter a orientação sobre

\theta

, as funções associadas de Legendre possuem

l-|m|

zeros, enquanto que na coordenada

\varphi

as funções trigonométricas seno e cosseno possuem

2|m|

zeros.

Quando o harmónico esférico de ordem

m

é nulo, as funções harmónicas esféricas não dependem de

\varphi

, e diz-se que a função é zonal. Quando

l=|m|

, não existem zeros na direção

\theta

, e diz-se que a função é setorial. Nos outros casos, as funções formam um padrão em xadrez sobre a esfera.

Expressões analíticas para os primeiros harmónicos esféricos[editar | editar código-fonte]

Eis as expressões analíticas dos primeiros harmónicos esféricos ortonormalizados, com a convenção de fase de Condon-Shortley:

Y_{0}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {1 \over \pi }}

Y_{1}^{-1}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,e^{-i\varphi }

Y_{1}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {3 \over \pi }}\,\cos \theta

Y_{1}^{1}(\theta ,\varphi )={-1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,e^{i\varphi }

Y_{2}^{-2}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin ^{2}\theta \,e^{-2i\varphi }

Y_{2}^{-1}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{-i\varphi }

Y_{2}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {5 \over \pi }}\,(3\cos ^{2}\theta -1)

Y_{2}^{1}(\theta ,\varphi )={-1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{i\varphi }

Y_{2}^{2}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin ^{2}\theta \,e^{2i\varphi }

Y_{3}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {7 \over \pi }}\,(5\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )

Ver também: [[[[Tabela de harmónicos esféricos até Y₁₀]]]]

Teoria matemática geral[editar | editar código-fonte]

O conjunto dos harmónicos esféricos pode ser visto como uma representação da simetria do grupo das rotações em torno de um ponto SO(3) e das aplicações universais SU(2). Portanto, ele capta a simetria da esfera em duas dimensões. Cada grupo de harmónicos esféricos, com um dado valor do parâmetro l leva a uma representação diferente irredutível do grupo SO(3).

Além disso, a área é equivalente à esfera de Riemann. O conjunto completo das simetrias da esfera de Riemann é descrito pelo grupo das transformações de Möbius PSL(2,C), que é isomorfo ao grupo de Lie real chamado grupo de Lorentz. O análogo dos harmónicos esféricos em relação ao grupo de Lorentz é a série hipergeométrica; na verdade, os harmónicos esféricos podem ser reescritos em termos da série hipergeométrica, já que SO(3) é um subgrupo de PSL(2,C).

Mais especificamente, pode-se generalizar a série hipergeométrica para descrever as simetrias de qualquer espaço de simetria. Em particular, a série hipergeométrica pode ser estendida para todos os grupos de Lie.^[1]^[2]^[3]^[4]

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

matriz categorial Graceli.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

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Matriz categorial de Graceli.

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segunda-feira, 25 de fevereiro de 2019

{\sqrt {f}}=k_{1}\cdot (Z-k_{2})

decadimensional

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Ta l Rl

f=(2.47\times 10^{15})\cdot (Z-1)^{2}

decadimensional

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E=h\nu =E_{i}-E_{f}={\frac {m_{e}q_{e}^{2}q_{Z}^{2}}{8h^{2}\epsilon _{0}^{2}}}\left({\frac {1}{n_{f}^{2}}}-{\frac {1}{n_{i}^{2}}}\right)\,

decadimensional

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E=h\nu =E_{i}-E_{f}={\frac {m_{e}q_{e}^{4}(Z-1)^{2}}{8h^{2}\epsilon _{0}^{2}}}\left({\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}\right)\,

x decadimensional x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

ou dividindo ambos os lados por h para converter E para f):

f=\nu ={\frac {m_{e}q_{e}^{4}}{8h^{3}\epsilon _{0}^{2}}}\left({\frac {3}{4}}\right)(Z-1)^{2}=(2.48*10^{15}\ \mathrm {Hz} )(Z-1)^{2}\,

x decadimensional x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

A Lei de Moseley é uma lei da gravidade obtida pela relação entre raios-X característicos dos átomos. É importante historicamente na justificação do modelo nuclear para o átomo, em que toda a carga positiva está contida no núcleo do átomo, e é associada ao seu número de elétrons. Na época de Moseley, o número atômico era apenas a posição do elemento na tabela periódica, sem significado físico. ^[1]

Nas conversas com Niels Bohr em 1913, Moseley ficou interessado no modelo atômico de Bohr, em que o espectro de emissão eletromagnética dos átomos é proporcional à raiz quadrada de Z, ou seja, à carga elétrica no núcleo (que tinha sido descoberta dois anos antes). O modelo de Bohr tinha sido bem sucedido em demonstrar a fórmula empírica de Rydberg para o átomo de Hidrogênio, porém não conseguia explicar o espectro para os elementos mais massivos. Em particular, apenas dois anos antes, Rutherford em 1911, postulou que o Z para átomos de prata menos que a metade de sua massa e pouco tempo depois, Antonius van den Broek sugeriu que o valor de Z não era a metade da massa atômica, mas era exatamente o número atômico, ou a posição na tabela periódica. Até aquela época, não se conhecia qualquer significado físico para a posição do elemento na tabela periódica, com exceção da ordenação de algumas propriedades químicas.

Na maioria dos casos, a tabela periódica tende a ficar de acordo com a massa atômica, porém existem alguns casos famosos de átomos com número atômico maior e massa menos, como por exemplo o []] com massa 58,9 e Z=27 e o níquel de massa 58,7 e Z=28.

Como o espectro de emissão para átomos com Z altos estão na faixa dos raios-X moles (facilmente absorvidos pelo ar), Moseley precisou utilizar tubos de vácuo. Usando as técnicas de difração de raios-X, Moseley descobriu que as linhas de emissões mais intensas dos átomos eram intrinsecamente relacionadas com o número atômico Z.

Essa linha atualmente é conhecida como linha K-alfa. E finalmente Moseley descobriu que essa relação podia ser descrita por uma fórmula simples, que ficou conhecida como a Lei de Moseley.

{\sqrt {f}}=k_{1}\cdot (Z-k_{2})

Onde:

f\

é a frequencia de emissão da linha Kα

k_{1}\

and

k_{2}\

são constantes que dependem do tipo de linha

Por exemplo, os valores de

k_{1}\

k_{2}\

são os mesmos para todas as linhas

K_{\alpha }

então a fórmula pode ser simplificada para:

f=(2.47\times 10^{15})\cdot (Z-1)^{2}

Moseley escolheu mostrar a fórmula sem

k_{1}\

mais com um número constante puro, no estilo de Rydberg, deixando a constante como 3/4 (ou 1- 1/4) da frequência fundamental de Rydberg ((3.29*10¹⁵ Hz) para as linhas

K_{\alpha }

e novamente para as linhas

L_{\alpha }

k_{1}\

ficou igual a 1/4 - 1/9 = 5/36 vezes a frequência de Rydberg, essa foi a forma que Moseley escolheu para escrever sua fórmula.^[2]

A constante empírica

k_{2}\

é dado pelo fit dos dados das linhas de emissão

K_{\alpha }

L_{\alpha }

Moseley obteve o valor (Z - 7.4)² para as linhas

L_{\alpha }

k_{2}\

igual a 1 para as linhas

K_{\alpha }

Abaixo está a formulação original de Moseley (com os dois lados elevado ao quadrado para melhor clareza).

f(K_{\alpha })=(3.29\times 10^{15})\cdot 3/4\cdot (Z-1)^{2}

f(L_{\alpha })=(3.29\times 10^{15})\cdot 5/36\cdot (Z-7.4)^{2}

Derivação e justificativo do modelo de Bohr do núcleo atômico de Rutheford[editar | editar código-fonte]

Moseley deduziu sua fórmula empiricamente plotando a raiz quadrada das frequências de emissão de raios-x em função do número atômico, entretanto, sua dedução podia ser explicada em termos do modelo de Bohr (veja detalhes para a derivação para o átomo de Hidrogênio), se certos pressupostos razoáveis sobre a estrutura atômica dos outros elementos forem feitos, porém na época em que Moseley derivou sua lei, nem ele e nem Bohr conseguiu explicar a sua forma.

A fórmula empírica de Rydberg é explicada pelo modelo de Bohr através da descrição de transições ou saltos quânticos entre um nível de energia a outro no átomo de Hidrogênio. Quando um elétron salta de um nível energético para outro, um fóton é emitido. Usando a fórmula para diferentes níveis de energia, é possível determinar as energias, ou frequências que um átomo de Hidrogênio pode emitir.

A energia do fóton que um átomo de hidrogênio emite no modelo de Bohr, é dado pela diferença de energia entre dois níveis.

E=h\nu =E_{i}-E_{f}={\frac {m_{e}q_{e}^{2}q_{Z}^{2}}{8h^{2}\epsilon _{0}^{2}}}\left({\frac {1}{n_{f}^{2}}}-{\frac {1}{n_{i}^{2}}}\right)\,

(note que Bohr usou unidades de Planck em que

\scriptstyle \epsilon _{0}=1/4\pi

), e

\scriptstyle m_{e}\,

= massa do elétron

\scriptstyle q_{e}\,

= carga do elétron (1.60 × 10⁻¹⁹ coulombs)

\scriptstyle n_{f}\,

= número quântico do nível final de energia

\scriptstyle n_{i}\,

= número quântico do nível inicial de energia

Assume-se que o nível de energia final é menor do que o nível inicial.

Por exemplo, para o hidrogênio, a fórmula fica

\scriptstyle q_{e}^{2}q_{Z}^{2}=q_{e}^{4}\,

por que o Z (a carga elétrica positiva no núcleo) é igual a 1, com isso, o núcleo de hidrogênio contém uma única carga. Assim, para o átomo de hidrogênio (onde o elétron pode ser descrito como uma nuvem esférica entorno do núcleo) Bohr percebeu que era necessário acrescentar uma quantidade adicional ao termo convencional

\scriptstyle q_{e}^{4}

a fim de explicar a atração extra sobre o elétron, e portanto a energia extra entre os níveis quânticos.

Isso foi feito em 1914 quando Bohr conseguiu adaptar a fórmula de Moseley, através de duas definições. A primeira é de que o elétron responsável pela linha espectral mais brilhante (Kα), que Moseley tinha estudado para diversos elementos, era resultado da transição de um único elétron entre as camadas K e L do átomo (i.e., da camada mais próxima do núcleo para a segunda mais próxima), com números de energia quântica de 1 e 2. Finalmente, o Z, embora ainda na raiz quadrada, requer que seja subtraído 1 para calcular o Kα (Após a morte de Moseley, isso foi entendido como uma correção da conta devido a carga total do núcleo, menos um elétron que remanesceu na camada K, visto simplesmente como elétron 1s). Em todo caso, o termo (Z-1) requer que esteja em uma raiz quadrada para se ajustar aos dados empíricos, então a conta de Bohr para a fórmula de Moseley para a linha Kα fica:

E=h\nu =E_{i}-E_{f}={\frac {m_{e}q_{e}^{4}(Z-1)^{2}}{8h^{2}\epsilon _{0}^{2}}}\left({\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}\right)\,

ou dividindo ambos os lados por h para converter E para f):

f=\nu ={\frac {m_{e}q_{e}^{4}}{8h^{3}\epsilon _{0}^{2}}}\left({\frac {3}{4}}\right)(Z-1)^{2}=(2.48*10^{15}\ \mathrm {Hz} )(Z-1)^{2}\,

Agrupando todos os termos constantes da fórmula em uma única, resulta em um termo de frequência equivalente a 3/4 da energia de ionização de 13,6 eV (veja constante de Rydberg para hidrogênio = 3.29 x 10¹⁵ Hz), como o valor final de 2.47 x 10¹⁵ Hz, uma boa aproximação com o valor obtido empiricamente por Moseley de 2.48 x 10¹⁵ Hz. Essa frequência fundamental é igual a linha alfa da série de Lyman para o hidrogênio, porque a transição 1s para 2p é responsável pela linha alfa de Lyman no hidrogênio e para as linhas Kα do espectro de raios-X para elementos acima do hidrogênio, Moseley tinha plena consciência de que sua frequência fundamental era a linha alfa de Lyman, que a frequência fundamental de Rydberg resultava de duas energias atômicas fundamentais, e por isso que a diferença do fator de Rydberg-Bohr era de exatamente 3/4.

Entretanto a necessidade da redução de Z por um número muito próximo de 1 para as linhas Kα dos elementos pesados, (acima do Alumínio) foi deduzida de forma totalmente empírica por Moseley, e não foi discutida de forma teórica em seus artigos, pois o conceito de camadas atômicas com pares de elétron ainda não tinha sido muito bem estabelecida em 1913 ( O assunto só ficaria mais claro por volta de 1920), e em particular o modelo de Schrödinger para as órbitas atômicas ainda não tinha sido formalmente introduzido, e ainda não foi totalmente entendido até antes de 1926.

Até o momento, Moseley foi enigmático com Bohr sobre o termo Z-1, Bohr pensava que a camada interna dos elétrons podia conter de 4 a 6 elétrons. Moseley por um tempo pensou que as linhas K eram resultados a transição simultânea de 4 elétrons da camada L para K, porém ele não se comprometeu a ponto de publicas essas ideias.

No que se refere as transições Lα, na visão moderna, associamos cada camada eletrônica com um número quântico n, onde cada camada contém 2n² elétrons, ou seja, se n=1, temos no máximo 2 elétrons, se n=2, 8 elétrons. O valor empírico de 7,4 obtido por Moseley para

K_2

é associado a transição de n=2 para 3, e é chamada de transição Lα (não confundir com transição alfa de Lyman), e ocorre da camada M para L na notação de letras de Bohr. O valor de 7,4 é agora conhecido como um efeito de blindagem eletrônica do elétrons contidos nas camadas n=1 e 2 (ou camadas K e L).

Importância Histórica[editar | editar código-fonte]

A lei de Moseley na forma escrita por Bohr, estabeleceu o número atômico como uma grandeza que pode ser medida experimentalmente e que fornece o número de prótonscontido no núcleo atômico. Como consequência direta do trabalho de Moseley com raios-X, os elementos puderam ser corretamente organizados na tabela periódica em ordem crescente de número atômico, ao invés da massa atômica (como consequência tivemos a inversão na posição do níquel (Z=28, 58.7 u) e cobalto (Z=27, 58.9 u).

Por sua vez, foi capaz de fornecer resultados quantitativos das linhas espectrais, em conformidade com o modelo semi-quântico de Bohr/Rutherford, em que assumia que toda a carga elétrica positiva se concentrava no núcleo atômico, e que as linhas espectrais eram resultantes das diferenças de energia entre os níveis de energia que é permitido o elétron ocupar em torno do núcleo. O fato do modelo de Bohr das energias no átomo poder explicar as linhas espectrais de raios-X do alumínio até o ouro na tabela periódica, e que existia uma dependência do número atômico, foi um fator muito forte para a aceitação científica desse modelo da estrutura atômica.

A lei de Moseley foi totalmente incorporada na visão moderna da mecânica quântica, incluindo a regra do único elétron 1s que permanece na camada K em todos os átomos, após a ejeção do outro elétron da camada K, concordando com a predição da equação de Schrödinger.

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

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Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

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sexta-feira, 22 de fevereiro de 2019

E = h \nu = \hbar \omega

{\hat {H}}\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

decadimensional

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A mecânica quântica teve suas bases estabelecidas essencialmente pelas seguintes revelações científicas: em 1838, Michael Faraday descobriu os raios catódicos; em 1859,Gustav Kirchhoff enunciou o problema da radiação de corpo negro; em 1877, Ludwig Boltzmann sugeriu que os estados de energia de um sistema físico poderiam ser discretos e, finalmente em 1900, Max Planck formulou a hipótese que toda a energia é irradiada e absorvida na forma de elementos discretos chamados quanta. Segundo a teoria, cada um desses quanta tem energia proporcional à frequência ν da radiação eletromagnética emitida ou absorvida.

E = h \nu = \hbar \omega

A ideia de descrever um fenomeno de radiação eletromagnética pela quantização da energia era extremamente revolucionária para a época; pois, em 1803, Thomas Young já havia comprovado o comportamento ondulatório da luz através do experiência de dupla fenda. Segundo Max Planck, essa teoria é apenas um aspecto teórico dos processos de absorção e emissão de radiação e não tinha nada a ver com a realidade física da radiação em si.^[2] Nas palavras do próprio cientista: “em um ato de desespero, pois uma interpretação teórica (para a radiação de corpo negro) deveria ser encontrada … eu estava pronto para sacrificar todas as minhas convicções previas sobre física…”.

No entanto, isso parecia não explicar o efeito fotoelétrico (1839), no qual a incidência de luz em certos materiais pode ejetar elétrons do mesmo. Em 1905, baseando seu trabalho na hipótese quântica de Planck, Albert Einstein postulou que a própria luz é formada por quanta individuais,^[3] o que em 1926 ficou conhecido como fóton. Em 1921, Einstein recebeu o Prêmio Nobel pelo efeito fotoelétrico^[4].

Louis de Broglie levou mais a fundo a ideia corpuscular e ondulatória da luz e por analogia, postulou que partículas também possuiriam um comprimento de onda, uma onda de materia. O físico francês relacionou o comprimento de onda (λ) com a quantidade de movimento (p) da partícula, mediante a fórmula:

\lambda ={\frac {h}{p}}

onde h é a Constante de Planck. De Broglie também postulou que se elétrons fossem propriamente submetidos ao experimento de dupla fenda, também apresentariam um padrão de interferência. Em 1927, O experimento de Davisson–Germer confirmou as previsões de de Broglie, estabelecendo a dualidade onda-partícula da matéria. Em 1929, de Broglie recebeu o Prêmio Nobel pela descoberta da natureza ondulatória do elétron^[5].

Em meados da década de 1920, a evolução da mecânica quântica rapidamente fez com que ela se tornasse a formulação padrão para a física atômica. No verão de 1925, Bohr e Heisenberg publicaram resultados que fechavam a "antiga teoria quântica". Da simples postulação de Einstein nasceu uma enxurrada de debates, teorias e testes e, então, a todo o campo da física quântica, levando à sua maior aceitação na quinta Conferência de Solvay em 1927.

Na mecânica quântica, a equação de Schrödinger é uma equação diferencial parcial que descreve como o estado quântico de um sistema físico muda com o tempo. Foi formulada no final de 1925, e publicado em 1926, pelo físico austríaco Erwin Schrödinger.^[1]

Na mecânica clássica, a equação de movimento é a segunda lei de Newton, (

F = m a

) utilizada para prever matematicamente o que o sistema fará a qualquer momento após as condições iniciais do sistema. Na mecânica quântica, o análogo da lei de Newton é a equação de Schrödinger para o sistema quântico (geralmente átomos, moléculas e partículas subatômicas sejam elas livres, ligadas ou localizadas). Não é uma equação algébrica simples, mas, em geral, uma equação diferencial parcial linear, que descreve o tempo de evolução da função de onda do sistema (também chamada de "função de estado").^[2]^:1–2

O conceito de uma função de onda é um postulado fundamental da mecânica quântica. A equação de Schrödinger também é muitas vezes apresentada como um postulado separado, mas alguns autores^[3]^{:Capítulo 3} afirmam que pode ser derivada de princípios de simetria. Geralmente, "derivações" da equação demonstrando sua plausibilidade matemática para descrever dualidade onda-partícula.

Na interpretação padrão da mecânica quântica, a função de onda é a descrição mais completa que pode ser dada a um sistema físico. As soluções para a equação de Schrödinger descrevem não só sistemas moleculares, atômicas e subatômicas, mas também os sistemas macroscópicos, possivelmente, até mesmo todo o universo.^[4]^:292ff A equação de Schrödinger, em sua forma mais geral, é compatível tanto com a mecânica clássica ou a relatividade especial, mas a formulação original do próprio Schrödinger era não-relativista.

A equação de Schrödinger não é a única maneira de fazer previsões em mecânica quântica — outras formulações podem ser utilizadas, tais como a mecânica matricial de Werner Heisenberg, e o trajeto da integração funcional de Richard Feynman.

Equação dependente do tempo[editar | editar código-fonte]

Usando a notação de Dirac, o vetor de estados é dado, em um instante

t

por

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

. A equação de Schrödinger dependente do tempo, então, escreve-se:^[5]

Equação de Schrödinger Dependente do Tempo (geral)

{\hat {H}}\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

Em que

i

é a unidade imaginária,

\hbar

é a constante de Planck dividida por

2\pi

, e o Hamiltoniano

{\hat {H}}

é um operador auto-adjunto atuando no vetor de estados. O Hamiltoniano representa a energia total do sistema. Assim como a força na segunda Lei de Newton, ele não é definido pela equação e deve ser determinado pelas propriedades físicas do sistema.

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

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Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

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terça-feira, 26 de fevereiro de 2019

\sum _{\lambda _{1},\,\lambda _{2}\in \mathrm {Spec} (H)}\langle \psi _{\lambda _{1}}|\psi _{\lambda _{2}}\rangle =\delta _{\lambda _{1}\lambda _{2}}

decadimensional

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\left\langle \psi |H|\psi \right\rangle =\sum _{\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathrm {Spec} (H)}\left\langle \psi |\psi _{\lambda _{1}}\right\rangle \left\langle \psi _{\lambda _{1}}|H|\psi _{\lambda _{2}}\right\rangle \left\langle \psi _{\lambda _{2}}|\psi \right\rangle

=\sum _{\lambda \in \mathrm {Spec} (H)}\lambda \left|\left\langle \psi _{\lambda }|\psi \right\rangle \right|^{2}\geq \sum _{\lambda \in \mathrm {Spec} (H)}E_{0}\left|\left\langle \psi _{\lambda }|\psi \right\rangle \right|^{2}=E_{0}

x decadimensional x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

\varepsilon (\alpha _{i})=\left\langle \psi (\alpha _{i})|H|\psi (\alpha _{i})\right\rangle

decadimensional

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Na mecânica quântica, o método variacional é uma ferramenta matemática utilizada para encontrar aproximações do valor próprio de mais baixa energia ou estado fundamental. Os fundamentos para este método vêm do princípio variacional.

Este método consiste em escolher uma função de onda tentativa que dependa de um ou mais parâmetros, e encontrar os valores destes parâmetros para cada valor esperado onde a energia seja a menor possível. A função de onda obtida pela substituição dos parâmetros pelos valores encontrados será uma aproximação do estado fundamental da função de onda, e o valor esperado de energia neste estado será um majorante para a energia deste estado fundamental.

Suponha um espaço de Hilbert e um operador autoadjunto sobre o hamiltoniano H. Ignore-se possíveis complicações de um espectro contínuo, suponha um espectro discreto de H e os espaços esperados correspondentes para cada valor esperado λ

\sum _{\lambda _{1},\,\lambda _{2}\in \mathrm {Spec} (H)}\langle \psi _{\lambda _{1}}|\psi _{\lambda _{2}}\rangle =\delta _{\lambda _{1}\lambda _{2}}

onde

\delta _{i,j}

é o delta de Kronecker

{\hat {H}}\left|\psi _{\lambda }\right\rangle =\lambda \left|\psi _{\lambda }\right\rangle

Estados físicos são normalizados, ou seja suas normas são iguais a 1. Suponha agora que o espaço seja limitado por baixo e que seu maior limite inferior seja

E_0

. Suponha também que o estado correspondente a |ψ> seja conhecido. O valor esperado de H será então

\left\langle \psi |H|\psi \right\rangle =\sum _{\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathrm {Spec} (H)}\left\langle \psi |\psi _{\lambda _{1}}\right\rangle \left\langle \psi _{\lambda _{1}}|H|\psi _{\lambda _{2}}\right\rangle \left\langle \psi _{\lambda _{2}}|\psi \right\rangle

=\sum _{\lambda \in \mathrm {Spec} (H)}\lambda \left|\left\langle \psi _{\lambda }|\psi \right\rangle \right|^{2}\geq \sum _{\lambda \in \mathrm {Spec} (H)}E_{0}\left|\left\langle \psi _{\lambda }|\psi \right\rangle \right|^{2}=E_{0}

Se variarmos para todos os possíveis estados com norma 1 para que se minimize o valor esperado de H, o menor valor seria

E_0

e o estado correspondente seria um estado esperado de

E_0

. Quando varia-se sobre todo o espaço de Hilbert normalmente se obtém cálculos complexos demais e um subespaço necessita ser escolhido. A escolha de diferentes subespaços levam a diferentes aproximações e o processo de escolha do subespaço com melhor aproximação é chamado de ansatz.

Suponha que haja alguma sobreposição entre o ansatz e o estado fundamental (caso contrário seria um ansatz ruim). Então para se normalizar o subespaço do ansatz

\left\langle \psi (\alpha _{i})|\psi (\alpha _{i})\right\rangle =1

e agora minimizando

\varepsilon (\alpha _{i})=\left\langle \psi (\alpha _{i})|H|\psi (\alpha _{i})\right\rangle

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

matriz categorial Graceli.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

Matriz categorial de Graceli.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

sexta-feira, 1 de março de 2019

conforme a intensidade do paradoxo EPR e tem variações de tempo, estado, espaço, interações e transformações levando em consideração as categorias, as dez dimensões de Graceli, e os estados de Graceli.

Na mecânica quântica, o paradoxo EPR ou Paradoxo de Einstein-Podolsky-Rosen é um experimento mental que questiona a natureza da previsão oriunda da teoria quântica de que o resultado de uma medição realizada em uma parte do sistema quântico pode ter um efeito instantâneo no resultado de uma medição realizada em outra parte, independentemente da distância que separa as duas partes. À primeira vista isto vai contra os princípios da relatividade especial, que estabelece que a informação não pode ser transmitida mais rapidamente que a velocidade da luz.^{[Nota 1]}^[1]

O EPR surgiu em meio a um contexto histórico onde buscava-se, em vista das predições da mecânica quântica, a compreensão da realidade adjacente a uma partícula descrita por um estado emaranhado. Havia três correntes quanto à questão: a realista, que dava existência real à partícula mesmo quando esta encontra-se descrita pelo estado emaranhado — imediatamente antes da realização de uma medida e do colapso da função de onda, portanto;^{[Nota 2]} a ortodoxa, que afirmava não havia uma realidade adjacente ao estado emaranhado, estando a partícula simultaneamente em todos os estados do emaranhamento até o ato da medida — da redução da função de onda — que obrigava a partícula a "decidir-se" por um estado específico,^{[Nota 3]} e a agnóstica, que recusava-se a apresentar uma resposta ao impasse.^{[Nota 4]}

"EPR" vem das iniciais de Albert Einstein, Boris Podolsky, e Nathan Rosen, os três defensores do ponto de vista realista que apresentaram este experimento mental em um trabalho em 1935 no intuito de demonstrar que a mecânica quântica não é uma teoria física completa, faltando à função de onda que descreve o estado emaranhado o que eles chamaram de "variáveis ocultas" — com as quais seria possível restaurar-se a explicação estritamente realista que defendiam. É algumas vezes denominado como paradoxo EPRB devido a David Bohm, que converteu o experimento mental inicial em algo próximo a um experimento viável.

O EPR é um paradoxo no seguinte sentido: tomando-se a mecânica quântica e a ela adicionando-se uma condição aparentemente razoável — tal como "localidade", "realismo" ou "inteireza" — presentes em outras teorias como a clássica ou relativística, obtém-se uma contradição. Porém, a mecânica quântica por si só não apresenta nenhuma inconsistência interna, tão pouco deixa indícios de como estas poderiam sugerir; também não contradiz a teoria relativística ou mesmo a mecânica clássica; e mais, implica esta última no limite macroscópico — quando tem-se agregados de numerosas partículas.

Como um resultado de desenvolvimentos teóricos e experimentais seguintes ao trabalho original da EPR — a destacar o Teorema de Bell e os resultados experimentais oriundos da investigação deste — demonstrou-se que se a visão realista estivesse correta ela implicaria não apenas a mecânica quântica como uma teoria incompleta mas sim como um teoria completamente incorreta, e por outro lado, se a mecânica quântica estivesse correta, então nenhuma variável oculta seria capaz de salvar a teoria da não-localidade que Einstein considerava tão absurda. Com a posição agnóstica inviabilizada, restava decidir-se pela posição realista ou ortodoxa.

Em vistas dos resultados experimentais oriundos, entre outros, de investigações quanto à desigualdade de Bell, a maioria dos físicos atuais concorda que o paradoxo EPR é decidido a favor de que tanto a mecânica quântica quanto a essência da natureza em si estão além dos limites da Física Clássica e da Relatividade Restrita; e não a favor de que teoria quântica seja uma teoria incompleta, falha ou mesmo incompatível com a descrição da natureza em sua essência mais profunda. Os dados experimentais até o momento decidem a favor da compreensão ortodoxa do estado emaranhado (a chamada interpretação de Copenhagen), portanto. Razoável esforço da comunidade de físicos tem sido despendido desde então no intuito de elaborar-se uma teoria quanto-relativística que possibilite uma descrição mais acurada da natureza do que a fornecida pelas duas teorias quando em suas formas independentes.

Descrição do paradoxo[

O paradoxo EPR apóia-se nos postulados da relatividade e em um fenômeno predito pela mecânica quântica e conhecido como entrelaçamento quântico, que mostra que medições realizadas em partes separadas de um sistema quântico influenciam-se mutuamente. Este efeito é atualmente conhecido como "comportamento não local" (ou, coloquialmente, como "estranheza quântica"). De forma a ilustrar isto, considere a seguinte versão simplificada do experimento mental EPR devido a Bohm.

Medições em um estado de entrelaçamento[editar | editar código-fonte]

Tem-se uma fonte emissora de pares de elétrons, com um elétron enviado para o destino A, onde existe uma observadora chamada Alice, e outro enviado para o destino B, onde existe um observador chamado Bob. De acordo com a mecânica quântica, podemos arranjar nossa fonte de forma tal que cada par de elétrons emitido ocupe um estado quânticoconhecido como spin singleto. Isto pode ser visto como uma superposição quântica de dois estados; sejam eles I e II. No estado I, o elétron A tem spin apontado para cima ao longo do eixo z (+z) e o elétron B tem seu spin apontando para baixo ao longo do mesmo eixo (-z). No estado II, o elétron A tem spin -z e o elétron B, +z. Portanto, é impossível associar qualquer um dos elétrons em um spin singleto, com um estado definido de spin. Os elétrons estão, portanto, no chamado entrelaçamento.

Alice mede neste momento o spin no eixo z. Ela pode obter duas possíveis respostas: +z ou -z. Suponha que ela obteve +z. De acordo com a mecânica quântica, o estado quântico do sistema colapsou para o estado I (diferentes interpretações da mecânica quântica têm diferentes formas de dizer isto, mas o resultado básico é o mesmo). O estado quântico determina a probabilidade das respostas de qualquer medição realizada no sistema. Neste caso, se Bob a seguir medir o spin no eixo z, ele obterá -z com 100% de certeza. Similarmente, se Alice obtiver -z, Bob terá +z.

Não há, certamente, nada de especial quanto à escolha do eixo z. Por exemplo, suponha que Alice e Bob agora decidam medir o spin no eixo x. De acordo com a mecânica quântica, o estado do spin singleto deve estar exprimido igualmente bem como uma superposição dos estados de spin orientados na direção x. Chamemos tais estados de Ia e IIa. No estado Ia, o elétron de Alice tem o spin +x e o de Bob, -x. No estado IIa, o elétron de Alice tem spin -x e o de Bob, +x. Portanto, se Alice mede +x, o sistema colapsa para Ia e Bob obterá -x. Por outro lado, se Alice medir -x, o sistema colapsa para IIa e Bob obterá +x.

Em mecânica quântica, o spin x e o spin z são "observáveis incompatíveis", que significa que há um principio da incerteza de Heisenberg operando entre eles: um estado quântico não pode possuir um valor definido para ambas as variáveis. Suponha que Alice meça o spin z e obtenha +z, com o estado quântico colapsando para o estado I. Agora, ao invés de medir o spin z também, suponha que Bob meça o spin x. De acordo com a mecânica quântica, quando o sistema está no estado I, a medição do spin x de Bob terá uma probabilidade de 50% de produzir +x e 50% de -x. Além disso, é fundamentalmente impossível predizer qual resultado será obtido até o momento que Bob realize a medição.

Incidentalmente, embora tenhamos usado o spin como exemplo, muitos tipos de quantidades físicas — que a mecânica quântica denomina como "observáveis" — podem ser usados para produzir entrelaçamento quântico. O artigo original de EPR usou o momento como observável. Experimentos atuais abordando o contexto de EPR frequentemente usam a polarização de fótons, porque são experiências mais fáceis de se preparar e medir.

Realidade e integridade[editar | editar código-fonte]

Introduziremos agora dois novos conceitos usados por Einstein, Podolsky e Rosen, que são cruciais em seu ataque à mecânica quântica: (i) os elementos da realidade física e (ii) a integridade de uma teoria física.

Os autores não se referem diretamente ao significado filosófico de um "elemento da realidade física". Ao invés disso, assumem que se o valor de qualquer quantidade física de um sistema pode ser predito com absoluta certeza antes de se realizar uma medição ou, em outras palavras, perturbando-o, então tal valor corresponde a um elemento da realidade física. Note que o oposto não é necessariamente verdadeiro; poderia haver outros caminhos para existir elementos da realidade física, mas isto não afeta o argumento.

A seguir, EPR definiu uma "teoria física completa" como aquela na qual cada elemento da realidade física tem relevância. O objetivo deste artigo era mostrar, usando estas duas definições, que a mecânica quântica não é uma teoria física completa.

Vejamos como estes conceitos se aplicam para o experimento mental acima. Suponha que Alice decida medir o valor do spin no eixo z (chamemo-no de spin z). Depois de Alice realizar sua medição, o spin z do elétron de Bob é definitivamente conhecido, de forma que torna-se um elemento da realidade física. De modo similar, se Alice decide medir o spin no eixo x, o spin x do elétron de Bob torna-se um elemento da realidade física logo após a medição por Alice.

Vimos que um estado quântico não pode possuir um valor definido para ambos eixos, x e z. Se a mecânica quântica é uma teoria física completa no sentido dado acima, os spin xe z não podem ser elementos da mesma realidade ao mesmo tempo. Isto significa que a decisão de Alice — de escolher se faz a medição no eixo x ou z — tem um efeito instantâneo nos elementos da realidade física na localidade de Bob. Contudo, isto viola outro princípio, o da localidade.

Localidade no experimento EPR[editar | editar código-fonte]

O princípio da localidade estabelece que processos físicos ocorrendo em um determinado lugar não devem ter um efeito imediato em elementos da realidade em outro local. À primeira vista, isto parece ser uma presunção aceitável, já que parece ser uma conseqüência da relatividade especial, que estabelece que a informação nunca pode ser transmitida mais rapidamente que a velocidade da luz sem violar o princípio da causalidade. É uma crença geral que qualquer teoria que viole o princípio da causalidade deve possuir uma inconsistência interna.

Ou seja, a mecânica quântica viola o princípio da localidade, mas não o princípio da causalidade. A causalidade é preservada porque não há forma de Alice transmitir mensagens (isto é, informação) a Bob pela interferência na escolha do eixo. Qualquer que seja o eixo que ela use, a probabilidade é de 50% de se obter "+" e 50% de se obter "-", de forma completamente aleatória; de acordo com a mecânica quântica, é fundamentalmente impossível para ela influenciar o resultado que ela obterá. Além disso, Bob é somente capaz de realizar sua medição uma única vez: há uma propriedade fundamental da mecânica quântica, conhecida como o "teorema anticlonagem", que torna impossível a Bob fazer um milhão de cópias do elétron por ele recebido, realizar uma medição de spin em cada elétron, e estudar a distribuição estatística dos resultados. Portanto, na única medição que lhe é permitido fazer, há uma probabilidade de 50% de obter "+" e 50% de "-", independente se o eixo escolhido está alinhado de acordo com o de Alice.

Porém, o princípio da localidade apóia-se muito na intuição, e Einstein, Podolsky e Rosen não puderam abandoná-la. Einstein brincou, dizendo que as predições na mecânica quântica eram "estranhas ações a distância". A conclusão que eles esboçaram era a de que a mecânica quântica não é uma teoria completa.

Deve-se notar que a palavra localidade tem vários significados na Física. Por exemplo, na teoria quântica de campos, "localidade" significa que os campos quânticos em diferentes pontos no espaço não interagem entre si. Porém, teorias de campo quântico que são "locais" neste sentido violam o princípio da localidade como definido por EPR.

Resolvendo o paradoxo[editar | editar código-fonte]

Variáveis ocultas[editar | editar código-fonte]

Há vários possíveis caminhos para se resolver o paradoxo EPR. Um deles, sugerido por EPR, é que a mecânica quântica, a despeito do seu sucesso em uma ampla variedade de contextos experimentais, é ainda uma teoria incompleta. Em outras palavras, há ainda uma teoria natural a ser desvendada, à qual a mecânica quântica age no papel de uma aproximação estatística (uma excelente aproximação, sem dúvida). Diferente da mecânica quântica, esta teoria mais completa conteria variáveis correspondentes a todos os "elementos da realidade". Deve haver algum mecanismo desconhecido atuando nestas variáveis de modo a ocasionar os efeitos observados de "não-comutação dos observáveis quânticos", isto é, o princípio da incerteza de Heisenberg. Tal teoria é conhecida como teoria das variáveis ocultas.

Para ilustrar esta ideia, podemos formular uma teoria de variável oculta bem simples para o experimento mental anterior. Supõe-se que o estado do spin singleto emitido pela fonte é na verdade uma descrição aproximada do "verdadeiro" estado físico, com valores definidos para o spin z e o spin x. Neste estado "verdadeiro", o elétron que vai para Bob sempre tem valor de spin oposto ao do elétron que vai para Alice, mas, por outro lado, os valores são completamente aleatórios. Por exemplo, o primeiro par emitido pela fonte poderia ser "(+z, -x) para Alice e (-z, +x) para Bob", o próximo par "(-z, -x) para Alice e (+z, +x) para Bob", e assim por diante. Dessa forma, se o eixo de medição de Bob estiver alinhado com o de Alice, ele necessariamente obterá sempre o oposto daquilo que Alice obtiver; por outro lado, ele terá "+" e "-" com a mesma probabilidade.

Assumindo que restrinjamo-nos a medir nos eixos z e x, a teoria de variáveis ocultas é experimentalmente indistinguível da mecânica quântica. Na realidade, certamente, há um (incontável) número de eixos nos quais Alice e Bob podem realizar suas medições, de forma que haverá infinito número de variáveis ocultas independentes! Contudo, isto não é um problema sério; apenas formulamos uma teoria de variáveis ocultas muito simplista; uma teoria mais sofisticada poderia "consertá-la". Ou seja, ainda há um grande desafio por vir à ideia de variáveis ocultas.

Desigualdade de Bell[editar | editar código-fonte]

Em 1964, John Bell mostrou que as predições da mecânica quântica no experimento mental de EPR são sempre ligeiramente diferentes das predições de uma grande parte das teorias de variáveis ocultas. Grosseiramente falando, a mecânica quântica prediz uma correlação estatística ligeiramente mais forte entre os resultados obtidos em diferentes eixos do que o obtido pelas teorias de variáveis ocultas. Estas diferenças, expressas através de relações de desigualdades conhecidas como "desigualdades de Bell", são em princípio detectáveis experimentalmente. Para uma análise mais detalhada deste estudo, veja teorema de Bell.

Depois da publicação do trabalho de Bell, inúmeros experimentos foram idealizados para testar as desigualdades de Bell (como mencionado acima, estes experimentos geralmente baseiam-se na medição da polarização de fótons). Todos os experimentos feitos até hoje encontraram comportamento similar às predições obtidas da mecânica quântica padrão.

Porém, este campo ainda não está completamente definido. Antes de mais nada, o teorema de Bell não se aplica a todas as possíveis teorias "realistas". É possível construir uma teoria que escape de suas implicações e que são, portanto, indistinguíveis da mecânica quântica; porém, estas teorias são geralmente não-locais — parecem violar a causalidade e as regras da relatividade especial. Alguns estudiosos neste campo têm tentado formular teorias de variáveis ocultas que exploram brechas nos experimentos atuais, tais como brechas nas hipóteses feitas para a interpretação dos dados experimentais. Todavia, ninguém ainda conseguiu formular uma teoria realista localmente que possa reproduzir todos os resultados da mecânica quântica.

Implicações para a mecânica quântica[editar | editar código-fonte]

A maioria dos físicos atualmente acredita que a mecânica quântica é correta, e que o paradoxo EPR é somente um "paradoxo" porque a intuição clássica não corresponde à realidade física. Várias conclusões diferentes podem ser esboçadas a partir desta, dependendo de qual interpretação de mecânica quântica se use. Na velha interpretação de Copenhague, conclui-se que o principio da localidade não se aplica e que realmente ocorrem colapsos da função de onda. Na interpretação de muitos mundos, a localidade é preservada, e os efeitos da medição surgem da separação dos observadores em diferentes "históricos".

O paradoxo EPR aprofundou a nossa compreensão da mecânica quântica pela exposição de características não-clássicas do processo de medição. Antes da publicação do paradoxo EPR, uma medição era freqüentemente visualizada como uma perturbação física que afetava diretamente o sistema sob medição. Por exemplo, quando se media a posição de um elétron, imaginava-se o disparo de uma luz nele, que afetava o elétron e que produzia incertezas quanto a sua posição. Tais explicações, que ainda são encontradas em explicações populares de mecânica quântica, foram revisadas pelo paradoxo EPR, o qual mostra que uma "medição" pode ser realizada em uma partícula sem perturbá-la diretamente, pela realização da medição em uma partícula entrelaçada distante.

Tecnologias baseadas no entrelaçamento quântico estão atualmente em desenvolvimento. Na criptografia quântica, partículas entrelaçadas são usadas para transmitir sinais que não podem ser vazados sem deixar traços. Na computação quântica, partículas entrelaçadas são usadas para realizar cálculos em paralelo em computadores, o que permite que certos cálculos sejam realizados mais rapidamente do que um computador clássico jamais poderia fazer.

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

matriz categorial Graceli.

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N l El tf l

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Ta l Rl

Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

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Matriz categorial de Graceli.

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TEORIAS E FILOSOFIAS DE GRACELI 159

terça-feira, 26 de fevereiro de 2019

Estados Mistos e Puros

Construção do Operador Densidade[editar | editar código-fonte]

Progressão temporal de um Ensemble estatístico[editar | editar código-fonte]

Representação dos Ensembles Micro-Canônico e Canônico quânticos[editar | editar código-fonte]

terça-feira, 19 de fevereiro de 2019

Definição e solução

sábado, 2 de março de 2019

Formas espectrais

Relação de de Broglie[editar | editar código-fonte]

Condição de frequência de Bohr[editar | editar código-fonte]

terça-feira, 26 de fevereiro de 2019

sábado, 23 de fevereiro de 2019

Harmônicos esféricos estão relacionados no sistema decadimensional e categorial Graceli, vejamos alguns:

Introdução

Normalização[editar | editar código-fonte]

Convenção de fase de Condon-Shortley[editar | editar código-fonte]

Expansão em harmónicos esféricos[editar | editar código-fonte]

Harmónicos esféricos em física[editar | editar código-fonte]

Harmónicos esféricos na eletrostática[editar | editar código-fonte]

O átomo de hidrogênio[editar | editar código-fonte]

Análise espectral[editar | editar código-fonte]

Teorema da adição[editar | editar código-fonte]

Visualizando os harmónicos esféricos[editar | editar código-fonte]

Expressões analíticas para os primeiros harmónicos esféricos[editar | editar código-fonte]

Teoria matemática geral[editar | editar código-fonte]

segunda-feira, 25 de fevereiro de 2019

Derivação e justificativo do modelo de Bohr do núcleo atômico de Rutheford[editar | editar código-fonte]

Importância Histórica[editar | editar código-fonte]

sexta-feira, 22 de fevereiro de 2019

Equação dependente do tempo[editar | editar código-fonte]

terça-feira, 26 de fevereiro de 2019

sexta-feira, 1 de março de 2019

Descrição do paradoxo[

Medições em um estado de entrelaçamento[editar | editar código-fonte]

Realidade e integridade[editar | editar código-fonte]

Localidade no experimento EPR[editar | editar código-fonte]

Resolvendo o paradoxo[editar | editar código-fonte]

Variáveis ocultas[editar | editar código-fonte]

Desigualdade de Bell[editar | editar código-fonte]

Implicações para a mecânica quântica[editar | editar código-fonte]

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